Lấy điểm M trong tam giác ABC đều, Kẻ MH, MI, MK lần lượt vuông góc 3 cạnh. Tìm min của P = (MA^2+MB^2+MC^2) / (MH+MI+MK)^2.
----
Đáp số : 4/3
---------
Giải : Bài này thì chắc là khá dễ, ngắn gọn như sau : cái mẫu là không đổi rồi MH+MI+MK = h (đường cao tam giác). Vấn đề là tìm min cái tử. mà ta xài vectơ chứng minh được :
MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3MG^2 + (GA^2+GB^2+GC^2) >= GA^2 + GB^2+ GC^2 (với G là trọng tâm tam giác đều). Cuối cùng suy ra min của biểu thức là 4/3. "=" khi 3MG^2 = 0 => M trùng G, tức M là tâm tam giác ABC.
------------
Vấn đề là hoàn toàn có thể tổng quát cho tam giác thường thì kết quả ko đổi. Bằng cách áp dụng BDT erados (quên cách chứng minh BDT này rùi) : MA + MB + MC >= 2(MH+MI+MK). Rùi từ đó suy ra kết quả. :rabbit: :tongue: