Bạn có biết đường tròn phoi-ơ-bách ?
20 - 10/2004
Đối với nhiều học sinh bậc THCS, bài toán sau khá quen thuộc với tên gọi là đường tròn Ơ-le (hình 1) : “Trong một tam giác bất kì, trung điểm của ba cạnh, chân của ba đường cao và trung điểm của ba đoạn thẳng nối trực tâm với các đỉnh của tam giác nằm trên cùng một đường tròn.”


Từ năm 1765 bài toán đã được biết đến bởi Ơ-le (Euler), một nhà toán học vĩ đại, nhưng rồi bài toán bị rơi vào quên lãng. Sau đó bài toán đã trở thành quen thuộc với tên gọi là đường tròn Phoi-ơ-bách theo tên gọi của Karl Feuerbach (1800 - 1834), người đã tìm lại bài toán vào năm 1822. Đường tròn này còn được gọi là đường tròn 9 điểm, mặc dù thực ra nó còn đi qua một số điểm quan trọng khác ngoài những điểm nêu trên.
Có nhiều cách chứng minh bài toán này, một trong những bài toán hình học đẹp nhất của thế kỉ 18 và 19. Chúng tôi xin giới thiệu lại với bạn đọc một trong những cách chứng minh của bài toán.
Chứng minh gồm 2 bước. Trong bước 1, ta chứng minh rằng đường tròn đi qua M, N, P là các trung điểm của các cạnh của ∆ABC thì cũng đi qua L, K, H là chân của ba đường cao của tam giác này. Trong bước 2, ta sẽ chứng minh đường tròn đi qua các chân đường cao L, K, H thì cũng đi qua các trung điểm E, F, G của các đoạn thẳng nối trực tâm I với các đỉnh A, B, C.
* Bước 1 : (hình 2) Dễ dàng nhận thấy : MN là đường trung bình của ∆ABC nên MN = 1/2 AB ; HP là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền AB của tam giác vuông AHB nên suy ra MN = 1/2 HP.


Vậy HMNP là hình thang cân nên nó nội tiếp trong một đường tròn hay đường tròn ngoại tiếp ∆MNP đi qua H. Tương tự, đường tròn này cũng đi qua K ; L.
Bước 1 được hoàn thành.
* Bước 2 : (hình 3) Ta nhận thấy ∆IBC có các trung điểm của ba cạnh là E, F, M và chân ba đường cao là H, K, L.


áp dụng bước 1, đường tròn ngoại tiếp ∆EFM đi qua H, K, L. Nói cách khác đường tròn ngoại tiếp ∆HKL đi qua E, F. Tương tự, đường tròn này cũng đi qua G.
Bài toán được chứng minh xong.
(Theo 100 Great Problems of Elementary Mathematics)