Đề Thi Chọn HSGQG Năm 2011 - Môn Toán Học
Thời gian làm bài 180 phút
Ngày thi thứ nhất 11/1/2011

Bài 1 (5.0 điểm)
Cho là số thực dương và là số nguyên dương. Chứng minh bất đẳng thức:

Đẳng thức xảy ra khi nào?

[b]Bài 2] (5.0 điểm)
Cho dãy được xác định bởi:

Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn khi

[b]Bài 3 (5.0 điểm)
Cho đường tròn đường kính . là một điểm trên tiếp tuyến của tại . Đường thẳng cắt lần thứ hai tại . là điểm đối xứng với qua . Đường thẳng cắt lần thứ hai tại .

1. Chứng minh rằng đồng quy tại
   
2. Tìm vị trí của để diện tích tam giác lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo là bán kính của
   

[b]Bài 4(5.0 điểm)
Cho ngũ giác lồi có các cạnh và 2 đường chéo có độ dài không vượt quá . Trong ngũ giác lồi lấy điểm phân biệt bất kì. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn đơn vị có tâm nằm trên cạnh của ngũ giác lồi và chứa ít nhất điểm trong số điểm đã cho

Chú ý:thí sinh không được sử dụng tài liệu nào khác hay máy tính cầm tay

Đề thi Học sinh giỏi quốc gia năm 2011 – Môn Toán

Thời gian làm bài 180 phút
Ngày thi thứ hai 12/1/2011

Bài 5 (7 điểm):
Cho dãy số nguyên xác định bởi:
;

với mọi

Chứng minh rằng chia hết cho

Bài 6 (7 điểm):
Cho tam giác không cân tại và có các góc , là các góc nhọn. Xét 1 điểm di động trên cạnh sao cho

không trùng với và hình chiếu vuông góc của A trên BC. Đường thẳng vuông góc với tại cắt đường thẳng ,

tương ứng tại và. Gọi và lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác và . Chứng minh rằng

4 điểm cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác


Bài 7: (6 điểm)
Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức
không thể viết dưới dạng



Trong đó và là các đa thức với hệ số thực, khác đa thức hằng.

------------------------------------Hết-------------------------------------

Post lên hồi nào Quý ko thấy